Calcul du produit scalaire - Exemples

Considérons le triangle équilatéral $\text{A}\text{B}\text{C}$ de côté $2$ . Déterminons les produits scalaires suivants.

• $\overrightarrow{\text{B}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{B}\text{A}}=\text{B}\text{C}\times \text{B}\text{A}\times \cos (\overrightarrow{\text{B}\text{C}};\overrightarrow{\text{B}\text{A}}).$ Or $\text{B}\text{C}=\text{B}\text{A}=2$ et $(\overrightarrow{\text{B}\text{C}};\overrightarrow{\text{B}\text{A}})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ .On en déduit $\overrightarrow{\text{B}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{B}\text{A}}=2\times 2\times \cos ({\displaystyle \frac{\pi }{3}})=2\times 2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=2.$
  

Soit $\text{I}$ le milieu de $\text{[AB]}$ .

• $\overrightarrow{\text{A}\text{I}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{C}}=\text{A}\text{I}\times \text{A}\text{C}\times \cos (\overrightarrow{\text{A}\text{I}};\overrightarrow{\text{A}\text{C}}).$
  Or $\text{A}\text{C}=2$ , $\text{A}\text{I}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{A}\text{C}=1$ et $(\overrightarrow{\text{A}\text{I}};\overrightarrow{\text{A}\text{C}})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ .
  On en déduit $\overrightarrow{\text{A}\text{I}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{C}}=1\times 2\times \cos ({\displaystyle \frac{\pi }{3}})=1\times 2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=1.$
  
• $\overrightarrow{\text{B}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{C}\text{A}}=\text{B}\text{C}\times \text{C}\text{A}\times \cos (\overrightarrow{\text{B}\text{C}};\overrightarrow{\text{C}\text{A}}).$
  Or $\text{B}\text{C}=\text{C}\text{A}=2$ et $(\overrightarrow{\text{B}\text{C}};\overrightarrow{\text{C}\text{A}})={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ , il s'agit, en effet, de la mesure de l'angle formé par les directions  $(\text{B}\text{C})$ et  $(\text{C}\text{A})$ .
  Pour le visualiser, il est utile de dessiner le représentant du vecteur $\overrightarrow{\text{C}\text{A}}$ d'origine $\text{B}$ .
  On en déduit $\overrightarrow{\text{B}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{C}\text{A}}=2\times 2\times \cos ({\displaystyle \frac{2\pi }{3}})=2\times 2\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-2.$  Il aurait été également possible de remarquer que  $\overrightarrow{\text{B}\text{C}}=-\overrightarrow{\text{C}\text{B}}$ et d'utiliser l'angle orienté  $(\overrightarrow{\text{C}\text{A}};\overrightarrow{\text{C}\text{B}})$ de mesure ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ .