Calcul du produit scalaire - Exemples

Considérons le triangle équilatéral \(\text A\text B\text C\) de côté \(2\) . Déterminons les produits scalaires suivants.

• \(\vec{\text B\text C}\cdot\vec{\text B\text A}=\text B\text C\times \text B\text A \times \cos(\vec{\text B\text C};\vec{\text B\text A}).\) Or \(\text B\text C=\text B\text A=2\) et \((\vec{\text B\text C};\vec{\text B\text A})=\dfrac{\pi}{3}\) .On en déduit \(\vec{\text B\text C}\cdot\vec{\text B\text A}=2\times 2 \times \cos(\dfrac{\pi}{3})=2\times 2 \times \dfrac{1}{2}=2.\)
  

Soit \(\text I\) le milieu de \(\text{[AB]}\) .

• \(\vec{\text A\text I}\cdot\vec{\text A\text C}=\text A\text I\times \text A\text C \times \cos(\vec{\text A\text I};\vec{\text A\text C}).\)
  Or \(\text A\text C=2\) , \(\text A\text I=\dfrac{1}{2}\text A\text C=1\) et \((\vec{\text A\text I};\vec{\text A\text C})=\dfrac{\pi}{3}\) .
  On en déduit \(\vec{\text A\text I}\cdot\vec{\text A\text C}=1\times 2 \times \cos(\dfrac{\pi}{3})=1\times 2 \times \dfrac{1}{2}=1.\)
  
• \(\vec{\text B\text C}\cdot\vec{\text C\text A}=\text B\text C\times \text C\text A \times \cos(\vec{\text B\text C};\vec{\text C\text A}).\)
  Or \(\text B\text C=\text C\text A=2\) et \((\vec{\text B\text C};\vec{\text C\text A})=\dfrac{2\pi}{3}\) , il s'agit, en effet, de la mesure de l'angle formé par les directions  \((\text B\text C)\) et  \((\text C\text A)\) .
  Pour le visualiser, il est utile de dessiner le représentant du vecteur \(\vec{\text C\text A}\) d'origine \(\text B\) .
  On en déduit \(\vec{\text B\text C}\cdot\vec{\text C\text A}=2\times 2 \times \cos(\dfrac{2\pi}{3})=2\times 2 \times (-\dfrac{1}{2})=-2.\)  Il aurait été également possible de remarquer que  \(\vec{\text B\text C}=-\vec{\text C\text B}\) et d'utiliser l'angle orienté  \((\vec{\text C\text A};\vec{\text C\text B})\) de mesure \(\dfrac{\pi}{3}\) .